Cresciuto nello Spoleto, si mette subito in evidenza tra i pali e viene scoperto giovanissimo dall'Inter che aveva inviato in Umbria, Sergio Brighenti e Franco Manni (rispettivamente osservatore e general manager nerazzurri per la stagione 1975-76) per vedere all’opera Giorgio Roselli. Tacconi con Roselli viene prelevato e portato nel settore giovanile interista, per curarne la crescita, dove viene affidato alle cure di Venturi e Cella, vestendo con successo ed anticipo sui tempi, le maglie nerazzurre della "Berretti" e "Primavera".

Torna a Spoleto e quindi per il campionato 1977-78, viene mandato in prestito alla Pro Patria, dove fa il suo esordio in un campionato professionistico. Al termine della stagione colleziona 7 presenze, ma con la stagione rovinata da un infortunio (frattura dell'ulna), destando però ottima impressione tra gli addetti ai lavori.

Per il campionato seguente l'Inter lo invia sempre in prestito al Livorno, in Serie C1 girone B, guidato dall'ex bandiera interista Tarcisio Burgnich che lo sceglie come portiere titolare. La stagione 1978-79 per Tacconi segna l'ingresso ufficiale nel calcio, pur semi-professionista. Si avvale di un allenatore di esperienza come Gino Merlo, per un campionato intero gioca da titolare e dimostra subito, forse anche per effetto dei baffi, carattere e atteggiamento da calciatore esperto. Il Livorno chiude a metà classifica, ma la difesa che usualmente gli schiera davanti il quintetto Azzali-Mucci-Tormen-Petrangeli-Cappelletti, sarà una delle meno battute.

Tra le tante occasioni in cui il portiere risulta tra i migliori in campo, passa alla Storia il derby del 22 aprile 1979 a Pisa, quando gli amaranto impongono lo 0-1 nell'ultimo scorcio di gara, dopo che Tacconi ha salvato più volte la porta dal vantaggio nerazzurro. Chiusa la parentesi labronica per la stagione 1979-80, passa alla Sambenedettese B, che a fine campionato chiude con la retrocessione, per Tacconi, sarà comunque una tappa fondamentale per la propria carriera, perché incontrerà Piero Persico che nel ruolo di preparatore dei portieri, ne affinerà le doti tecniche.

Esordisce poi in Serie A con la maglia dell'Avellino nella stagione 1980/1981. In Irpinia resta 3 stagioni per poi trasferirsi alla Juventus nel 1983 (raccogliendo, fra l'altro, la pesante eredità di Dino Zoff appena ritiratosi dall'attività) con la quale vince due scudetti, uno nel 1984 e un altro nel 1986, poi una Coppa Italia nel 1990. È vice di Walter Zenga ai mondiali di Italia 90.

A livello internazionale è stato uno dei nove calciatori ad aver vinto tutte e tre maggiori competizioni calcistiche europee per club con le sue vittorie in Coppa delle Coppe nel 1984, in Coppa dei Campioni nel 1985 (straordinarie e decisive le sue parate nella tragica notte dell'Heysel) ed in Coppa UEFA nel 1990; è inoltre uno dei soli cinque calciatori vincitori di tutte le competizioni calcistiche internazionali, con i suoi successi in Supercoppa Europea nel 1984 ed in Coppa Intercontinentale nel 1985, unico portiere a raggiungere tale traguardo.

Nel 1992 dopo 10 anni alla Juventus, si trasferisce al Genoa: l'esperienza nel capoluogo ligure, che lo vede spesso relegato in panchina, si conclude a metà della stagione 1994-1995, con la rescissione del contratto e l'addio all'attività agonistica. Ma nonostante la sua età il 22 agosto 2008 torna brevemente all'attività agonistica giocando nella Prima Categoria marchigiana con l'FC Arquata di Arquata del Tronto.